Svastika pohledem matematika

Hlavní důvod proti tabuizování svastiky není její pradávná hinduistická tradice, nýbrž její matematická podstata. Tenhle esenciálně jednoduchý symetrický obrázek si zkrátka zaslouží žít, a nic mu v tom nezabrání.

Matematicky řečeno je svastika nejmenší strom nakreslený na čtvercové mřížce, který se zachová při otočení o 90 stupňů, ale už ne při překlopení. Tuto specifickou symetrii budu v textu stručně nazývat 4-symetrií. Totéž prvenství svastice zůstane i když místo stromu připustíme cokoli souvislého. Pokud bychom na druhou stranu stále vyžadovali strom, ale povolili i symetrii překlopením, předběhlo by svastiku co do jednoduchosti plusko. A kdybychom zeslabili obě podmínky, skončila by svastika po čtverečku a plusku třetí. Dohromady to znamená, že je svastika natolik jednoduchá, že se nemáme čemu divit, když se někde náhodně objeví.

Stačí si třeba představit člověka, který si kreslí klikaté čáry pravidelně zalomené o pravý úhel. Občas je chce navzájem překřížit, ale pokud možno "hezky" -- aby se příliš neblížili a nedotýkaly, kde nemají. Aniž by usiloval o 4-symetrii, vyjde mu zhruba takový obrázek,

tedy svastika v místě křížení. Tipuji, že obdobným estetiským uvažováním vznikla i například tato dekorace jistých paneláků v Praze:

Ve zmíněném příkladu se využila stromovitost svastiky -- snaha neprotínat se. Stejně tak může svastika vzejít v reálném světě už jen při snaze o 4-symetrii. Zkuste například 4-symetricky zavřít čtvercovou krabici se čtyřmi chlopněmi a podívat se, kde jsou vidět hrany vyčnívajících chlopní. Nebo třeba zkuste něco pěkného 4-symetrického poskládat ze čtyř figurek měst z Osadnícíků z Katanu.

V mřížce

Klíčová vlastnost svastiky byla ta, že je na čtvercové mřížce. Ale nejen to. Je to dokonce jeden z nejelegantnějších tvarů, ze kterého (nekonečnou) mřížku poskládat. Pokud si chcete pomyslně rozdělit mřížku na shodné konečné kousky, ty nejmenší dílky mohou být L-ko nebo čtvereček:

Jenže L-ko je asymetrické a čtverečky se musí posouvat šikmo. Svastika již ani jedním z těchto neduhů netrpí:

S touto představou můžete vidět svastiku v jakékoli čtvercové mřížce, kterou potkáte, stačí si na svastiku vzpomenout ;-) Ve skutečném světě ale dlaždičky nemají vždycky rovné hrany. Leckdy jsou klikaté... takže naznačují svastiku ještě nápadněji.

Je libo logické hříčky?

Na základě již popsaných vlastností se svastika šikovně hodí do některých známých hlavolamů. Jedním z nich jsou Ploty. Tam je třeba nakreslit do plánku jednu uzavřenou cestu tak, aby kolem každého políčka s číslem vedlo tolik hran, kolik udává toto číslo (0 až 3). Obyčejně je na plánku čísel málo a řešení je jednoznačné, ale co to zkusit obráceně? Lze vyplnit všechna políčka čísly tak, aby měla hádanka více řešení? Když jsem takový úkol zkusil dát jednomu dalšímu matematikovi, během chvilky přišel s touto odpovědí:

Není to sice nejjednodušší odpověď (dá se vymyslet už 2x2), ale je alespoň nejjednodušší symetrická (dokonce se všemi 8 symetriemi). Hádám, že pro čtenáře není těžké si domyslet, jak vypadají ta dvě řešení ;-) Analogickou dvojici řešení má i zadání jiného hlavolamu -- Nurikabe. V Nurikabe je cílem vyplnit souvislou oblast černě tak, aby v každé bílé oblasti zbylo jedno číslo udávající její velikost.

Flow Free

Pro mobilní telefony najdete pro změnu barevný hlavolam Flow Free. Pravidla jsou jednoduchá, je třeba pospojovat puntíky odpovídajících barev a přitom zaplnit každé políčko právě jednou cestou. Tato hra má i obtížnější variantu Flow Free: Bridges s mostem. Most je jedno políčko, které se musí použít tak, že jedna cesta přes něj povede vodorovně, druhá svisle, cesty se tedy na tomto políčku překříží.

Ve variantě Flow Free Bridges lze vymyslet jediné zadání velikosti 3x3. Jaképak má asi řešení?

Tetris

Jestli vám předchozí hříčky připadají málo známé, co takhle Tetris? V tetrisu se nachází 7 typů kostiček. Jedna z nich (čtvereček) má jediné možné natočení. Další tři (dlouhá a dvě klikaté) mají dvě možná natočení. Ze zbývajících tří kostiček má každá 4 různá natočení. Každou z těchto tří kostiček můžeme vzít a její 4 natočení zobrazit ve zhuštěném obrázku 4x4. Uprostřed obrázku bude (až na překlopení) pokaždé stejný symbol:

Trik s rozdělením krychle

Na závěr si předvedeme malou fintu s papírovou krychlí. Představte si, že máte z papíru vyrobenou (slepenou) krychli. tuto krychli podélně rozřízneme, takže získáme dvě "krabičky". Cílem je z každé z těchto krabiček sestavit opět krychli. To znamená, že chceme rozstříhat jednu krabičku tak, abychom stále měli jeden kus papíru, a tímto kusem jedním papíru bez překrývání pokrýt povrch jiné krychle (s dvakrát menším povrchem, logicky).

Rozstříhat krabičku přirozeně po hranách nefunguje. Co však již projde bude rozstřižení uprostřed a do strany, jako je to vyobrazeno na obrázku.

Takto sestavenou svastiku lze zabalit do krychle. Není na první pohled zřejmé, jak, ale po chvilce zkoušení se na to dá přijít ;-) A pro ty, komu to nepůjde, mám nápovědu (pro přečtení posuňte každé písmeno dopředu v abecedě): Nsnbsd ih n bsxqhbds ods rstomt.

Závěr

Těm, kterým vyobrazování svastiky připadá nevhodné, bych tedy jen vzkázal: Svastika je všudypřítomná, smiřte se s tím.

K sepsání zápisku mě vyprovokovaly tyto zprávy:
http://zpravy.idnes.cz/japonsko-odstrani-z-map-svastiky-ktere-oznacovaly-klastery-prf-/zahranicni.aspx?c=A160119_064641_zahranicni_fkahttp://www.ceskatelevize.cz/ct24/relax/1601379-nemeckou-obec-rozzlobilo-hriste-ve-tvaru-svastiky

Pokud znáte nějakou další pěknou vlastnost svastiky, podělte se v diskusi.

A jestli chcete, můžete přiživit i Godwinův zákon, ale já se v tom angažovat nebudu :-)