Matematická bajka o volebních systémech

Připlul jsem na opuštěný ostrov obývaný tlupou opic. Ty opice se za boha nemohly shodnout, které žluté ovoce pěstovat. Ananas, Banán nebo Citrón? Já mám podle veřejného mínění spor rozetnout. Čeká mě úkol věru nelehký...

Při svých toulkách na moři jsem se zatoulal na neznámý tropický ostrov. Žádní lidé tam nežijí, jenom deset malých milých opiček. Mou návštěvu vřele uvítaly. Chtějí po mně, abych vyřešil jejich vleklý spor:

"Chceme pěstovat jisté ovoce"
"Ananas!"
"Banán!"
"Citrón!"
"Hlavně ne Banán!"
"Vždyť to říkám, Ananas!"
"Pěstovat tady Ananas je blbost, většina chce Citrón."
"Ananas!"
"Možná bude nakonec Banán vážně nejlepší řešení."
"Ticho!!!", umlčel jsem rozhádané opičky.

"Tak proč si to prostě neodhlasujete?", zeptal jsem se.
"To není jen tak."
"Od toho tě tu máme!"
"Moře nám seslalo spravedlivého rozhodčího, který to vyřeší."
"Pomůžeš nám, viď?"
"Zaříď to hlasování, my to neumíme."
Ty opičky se na mě dívaly tak roztomile, že jsem jejich drobnou žádost nebyl s to odmítnout. To přece nemůže být takový problém, zorganizovat volby o deseti voličích.

Hlasování po dvojicích

"Tak, kdo by chtěl radši Ananas než Banán, zvedněte packu!"
7 pro Ananas, 2 pro Banán.
"Kdo by radši Citrón než Ananas?"
5 pro Citrón, 4 pro Ananas.
Dobrá, zatím o chlup vítězí Citrón.
"A kdo by chtěl radši Banán než Citrón?"
6 pro Banán, 3 pro Citrón.
Uff.

Takže většina chce Ananas radši než Banán, Citrón radši než Ananas, a Banán radši než Citrón.
Ta většina je teda pěkně nekonzistentní.
Ale to může být jen dáno samotným pojmem většiny, samotné opičky můžou hlasovat konzistentně. Většina opiček si tohle samozřejmě neuvědomila, a začala tu nekonzistenci většině hlasitě vyčítat.
"To se nemůžete rozhodnout, ani když tu máme vzdělaného člověka?"

Jednokolová volba

Když jsem opičky opět uklidnil, rozhodl jsem se provést obyčejné hlasování.
"Kdo je pro Ananas?" 4 hlasy.
"Kdo je pro Banán?" 2 hlasy.
"Kdo je pro Citrón?" 3 hlasy.
Jedna opička se zdržela.
Vyhrál Ananas!

Dvoukolová volba

"Počkat," rozčilovaly se opičky, které volily Banán. "a co druhé kolo hlasování?" Nápadu se chytly i další: "Přesně, takhle se proti-Ananasové hlasy nespravedlivě rozptýlily mezi dva kandidáty! Chceme druhé kolo!" Uznal jsem, že na námitce něco je.

"Dobrá, máte pravdu, uděláme druhé kolo. Do druhého kola postupuje Ananas a Citrón."
Vyhrál Citrón!

No vida, že to šlo... Ale opičky se nenechaly rozsoudit tak snadno. "Protestujeme!", ozvaly se dvě opičky, které v prvním kole volily Ananas. "My jsme se v prvním kole spletly, chtěly jsme volit Banán!" Potvory jedny vychytralé. Ony prostě nechtějí Citrón, a vědí, že ve druhém kole by Banán Citrón porazil, zatímco Ananas to nedokázal. Teda, aspoň si to myslím, do hlavy jim nevidím. A co když se opravdu jenom spletly? Ať je tomu jak chce, nejspíš ani dvoukolová volba není nejšťastnější řešení, Chce to systém, který vítěze určí opravdu spravedlivě.

Tak jsem si vzal papír a tužku, a začal jsem znovu přemýšlet, jak to celé zařídit.

Neexistuje poctivý volební systém

To není jenom výkřik zhrzelého relativisty. To je matematicky dokazatelná věta. Ať vymyslíme jakýkoli volební systém, vždycky může nastat situace, která motivuje některé voliče systému "lhát". Za vidinou lepšího výsledku nepřiznají svoje skutečné preference, protože tím ovlivní volby ve svůj prospěch. A protože jsem matematik, rád vám tuto větu dokážu. Pokusíme se poctivý volební systém sestavit. U pěti modelových situací si odvodíme, jak v nich musí systém fungovat, aby opravdu nemotivoval žádnou opici či skupinu opic blafovat. Nakonec najdeme modelovou situaci, ve které už volební systém nemá jak odpovědět.

Veškerá informace, kterou může jedna opička volebnímu systému dodat, jsou priority u jednotlivých kandidátů. Můžeme tedy opice rozdělit do šesti skupin:
A > B > C: Obři chtějí ovoce co největší, tedy preferují Ananas, odmítají Citrón.
C > B > A: Trpaslíci to vidí přesně naopak. Přejí si Citrón, jsou zásadně proti Ananasu.
B > A > C: Slaďáci chtějí sladké ovoce, tedy preferují Banán, rozhodně odmítají Citrón.
C > A > B: Kyseláci to vidí naopak. Citrón je pro ně naprosto optimální, sladkokyselou chuť Ananasu jsou ještě narozdíl od Banánu ochotni tolerovat.
B > C > A: Loupači chtějí ovoce, které se dobře loupe. Nejradši mají Banán, Ananas je pro ně příšerná volba.
A > C > B: Opak loupačů v důkaze nebudeme potřebovat, tak pro ně nemáme ani název.

V každé modelové situaci si představíme nějaké rozložení opic do těchto kategorií

Situace (1)

A > B > C: 3 obři
B > C > A: 3 loupači
C > A > B: 4 kyseláci
=> Citrón

Jeden kyselák (C > A > B) může situaci (1) dostat svou odpovědí na jakoukoli ze tří symetrických pozic. Aby se mu nevyplatilo lhát, musí v situaci (1) vyhrát Citrón.

Situace (2)

B > A > C: 3 slaďáci
B > C > A: 3 loupači
C > A > B: 4 kyseláci
=> Citrón

Aby se v situaci (1) třem obrům (A > B > C) nevyplatilo se vydávat za slaďáky (B > A > C), musí i v situaci (2) vyhrál Citrón.

Situace (3)

A > B > C: 3 obři
B > C > A: 3 loupači
C > B > A: 4 trpaslíci
=> Citrón

Aby se v situaci (3) čtyřem trpaslíkům (C > B > A) nevyplatilo se vydávat za kyseláky (C > A > B), musí v situaci (3) stejně jako v situaci (1) vyhrát Citrón.

Situace (4)

B > A > C: 6 slaďáků
C > A > B: 4 kyseláci
=> Ananas

Aby se v situaci (2) třem loupačům (B > C > A) nevyplatilo se vydávat za slaďáky (B > A > C), nesmí v situaci (4) vyhrát Banán. Vzhledem k symetrii situace (4) by výhra Citrónu byla absurdní, takže musí vyhrát Ananas.

Situace (5)

A > B > C: 6 obrů
C > B > A: 4 trpaslíci
=> Ananas

Aby se třem loupačům (B > C > A) v situaci (3) nevyplatilo vydávat se za obry (A > B > C), nesmí v situaci (5) vyhrát Banán. Vítězem tak bude Ananas.

A máme problém. Situace (4) a (5) jsou si vzájemně analogické. Přesto v jedné vyhraje "kompromisní kandidát" a ve druhé "vítěz". Snaha sestavit poctivý volební systém selhala.

Řešení je v náhodě

Přemýšlel jsem, jak se svým úkolem naložit. Mně osobně je úplně jedno, co budou ty zpropadené opice pěstovat. Já to rozhodovat nechci, a to ani volbou volebního systému. A hlavně to jejich věčné taktizování mi už leze na nervy. Původně jsem si představoval, že prostě zjistím, které ovoce má největší podporu, a to budou pěstovat. Ale má vůbec sousloví "největši podpora" smysl? Už jsem si matematicky dokázal, že nějaké snahy o blafování tady můžou být, ať přijdu s jakýmkoli systémem... A nebo ne?

Dalo by se říci, že problém je ještě v něčem trochu jiném. Kdyby třeba chtěly 4 opice Ananas, 4 Citrón a dvěma by to bylo více méně jedno, měly by tyto dvě nezaujaté opice neadekvátně velkou moc a zodpovědnost. Otázka, co pěstovat, stojí jenom na jejich rozhodnutí. Když budou obě hlasovat pro Ananas, bude to Ananas, když budou obě pro Citrón, bude to Citrón.

A když bude jedna nerozhodnutá opice pro Ananas a druhá pro Citrón, tak vlastně co? Takovou plichtu jde vyřešit snad jedině losem. Hodím mincí, panna znamená Ananas, orel znamená Citrón. To je vlastně docela dobré řešení, i když jsou výsledky skoro vyrovnané. Jenom když je mírně víc voličů pro Ananas, měla by se náhoda taky mírně přiklonit k Ananasu. A na tom jsem postavil svoje finální volební schéma.

Každá opice odevzdá do sáčku jeden volební lístek, a nakreslí na něj Ananas, Banán nebo Citrón. Já jeden hlas náhodně vylosuji a to bude naše konečné rozhodnutí. Takový systém zjevně nikoho nenabádá volit něco jiného než chce. Každá opice si řekne: "Buď se můj hlas vylosuje, a pak tam chci dát to, co chci já, nebo se nevylosuje, a potom je jedno, co tam nakreslím." Ano, měl jsem radost, jak jsem to hezky vymyslel.

Sesbíral jsem všechny hlasy.

Náhodně jsem jeden vylosoval.

A vítězem se stal...

Banán!

To už opice nerozdýchaly. Teda asi tři opice byly na mojí straně. Hájily mě, že náhoda rozhodla moudře a že jsem použil ten nejspravedlivější systém, co šel vymyslet. Ale zbylých sedm se rozhodlo mě vyhostit zpět na moře. Tak jsem zase odplul a nechal moje milé opičky svému osudu. Jestli se nepobily, hádají se tam dodnes.